2023全国高考3+3分科综合卷 QG(5五)数学 答案

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3．已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|2a+1|的解集是空集，求实数a的取值范围．

分析根据题意，结合二次函数f（x）=3x²+2ax+b的图象得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，画出该不等式所表示的平面区域，设z=a²+b²-1，结合图形求圆a²+b²=1+z的半径的范围即可．

解答解：设f（a）=3x²+2ax+b，根据已知条件知：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-2a+b+3≤0}\\{f（0）=b≤0}\end{array}\right.$；
该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设z=a²+b²-1，a²+b²=1+z；
∴该方程表示以原点为圆心，半径为r=$\sqrt{1+z}$的圆；
原点到直线-2a+b+3=0的距离为d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$；
∴该圆的半径r=$\sqrt{1+z}$；
解得z≥$\frac{4}{5}$；
∴a²+b²-1的最小值是$\frac{4}{5}$．
故选：A．

点评本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了线性规划的应用问题和直线方程、圆的方程以及数形结的应用问题，是综合性题目．