2023普通高校招生全国统一考试·模拟信息卷QG2(二)数学 答案

2022-11-25 15:54:44

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试题答案

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2.若函数f(x)是R上的单调函数,且对任意实数x,都有f[f(x)+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$]=$\frac{1}{3}$,则f(log23)=(  )

A.1B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{1}{2}$D.0

分析先求出前四项,猜测$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ,再用数学归纳法证明猜测的正确性.

解答解:因为$x+\frac{1}{x}$=2cosθ,所以可得如下各项:
$x^2+\frac{1}{x^2}$=4cos2θ-2=2(2cos2θ-1)=2cos2θ,
$x^3+\frac{1}{x^3}$=($x+\frac{1}{x}$)($x^2+\frac{1}{x^2}$)-($x+\frac{1}{x}$)=2cos3θ,
$x^4+\frac{1}{x^4}$=($x^2+\frac{1}{x^2}$)2-2=4cos22θ-2=2(2cos22θ-1)=2cos4θ,

可猜想:$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ,
下面用数学归纳法证明猜测的正确性.
①当k=1,$x+\frac{1}{x}$=2cosθ,猜测成立;
②假设k=n时猜测成立,即$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ,
那么,当k=n+1时,
${x}^{n+1}+\frac{1}{{x}^{n+1}}$=($x+\frac{1}{x}$)($x^n+\frac{1}{x^n}$)-(${x}^{n-1}+\frac{1}{{x}^{n-1}}$)
=2cosθ•2cosnθ-2cos(n-1)θ
=2[2cosθ•cosnθ-cos(n-1)θ]
=2[cos(n+1)θ+cos(n-1)θ-cos(n-1)θ]
=2cos(n+1)θ,
即k=n+1时,猜想也成立,
综合以上讨论得,对任意的正整数n都有$x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnθ成立.

点评本题主要考查了归纳推理,以及运用数学归纳法证明猜测的正确性,属于中档题.

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