2023届高三总复习S3 滚动周测卷(六6)数学 答案

2022-10-06 16:53:16

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试题答案

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19.已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的离心率$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
(1)求双曲线C的渐近线方程;
(2)若它的一个顶点到较近焦点的距离为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$,求双曲线的标准方程.

分析(Ⅰ)化简f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{3}$),从而可得2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,从而解得;
(Ⅱ)化简可得A=$\frac{π}{6}$;再由sinC=$\frac{1}{3}$可得C<$\frac{π}{6}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,从而利用正弦定理求解.

解答解:(Ⅰ)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{6}$)+cos(2x+$\frac{π}{6}$)
=2sin(2x+$\frac{π}{3}$),
当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,
即kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$,(k∈Z),
函数f(x)单调递减,
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{7π}{12}$],(k∈Z);
(Ⅱ)f(A)=2sin(2A+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$,
∴sin(2A+$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$或2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$,
∴A=kπ或A=kπ+$\frac{π}{6}$,(k∈Z);
又∵A∈(0,π),∴A=$\frac{π}{6}$;
∵sinC=$\frac{1}{3}$,C∈(0,π),sinA=$\frac{1}{2}$,
∴C<$\frac{π}{6}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴sinB=sin(A+C)=$\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$,
∴b=$\frac{3sinB}{sinA}$=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$.

点评本题考查了平面向量的应用及三角恒等变换的应用,同时考查了解三角形的应用.

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