2023届高考模块分段测试卷 新高考4(四)数学 答案

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5．设向量$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{c}$=（1，0），其中α∈（0，π），β（π，2π）．
（1）求证：|$\overrightarrow{a}$|=2cos$\frac{α}{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2sin$\frac{β}{2}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角是θ₁，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角是θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求sin$\frac{α-β}{4}$的值．

分析判断a与1的大小，说明b=1og₄3，c=1og₃2，的大小即可推出结果．

解答解：a=1og₃4＞1，0＜b=1og₄3＜1，0＜c=1og₃2＜1，
∵lg9＞lg8，∴2lg3＞3lg2，即lg3＞$\frac{3}{2}$lg2＞$\sqrt{2}$lg2，
可得（lg3）²＞2（lg2）²，即lg3lg3＞lg4lg2，
可得$\frac{lg3}{lg4}＞\frac{lg2}{lg3}$，∴1og₄3＞1og₃2，
综上：a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．

点评本题考查对数值的大小比较，不等式比较大小的方法，考查转化思想以及计算能力．