河南中原名校2022-2023学年高二上期第二次联考数学 答案

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17．（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=$\frac{12}{x}+3x$的最小值．
（Ⅱ）已知0＜x＜$\frac{1}{3}$，求f（x）=x（1-3x）的最大值．

分析先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x，y分别换成得$2{x}^{'}，\sqrt{3}{y}^{'}$，由此能求出结果．

解答解：∵极坐标方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴直角坐标方程为：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴经过直角坐标系下的伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，
得到的曲线方程为$\frac{（2{x}^{'}）^{2}}{4}+\frac{（\sqrt{3}{y}^{'}）^{2}}{3}$=12，即x^'2+y^'2=12，
∴得到的曲线是圆．
故选：D．

点评本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．