江苏省南通市2022~2023学年(上)高二期中质量监测数学 答案

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1．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）如果对任意的x＞0，都有f（x）≥f（1）=2成立，求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），证明：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$．

分析由二阶行列式的性质得：f（x）=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．

解答解：f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{cos2x}\\{1}&{sin2x}\end{array}|$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$）]=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$），
∴要得到函数f（x）的图象，
只需将y=2cos2x的图象y=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位．
故选：D．

点评本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．