辽宁省2022~2023第一学期高一期中考试(23022A)数学 答案

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6．函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-2x-3）$的单调减区间是（3，+∞）．

分析根据条件得到y+z=-x，y²+z²=1-x²，再根据柯西不等式（1•y+1•z）²≤（1+1）•（y²+z²），求出x的取值范围，进而得到最大值．

解答解：因为，x、y、z满足x+y+z=0，x²+y²+z²=1，
所以，y+z=-x，y²+z²=1-x²，
根据二维形式的柯西不等式得，
（1•y+1•z）²≤（1+1）•（y²+z²），
即（-x）²≤2（1-x²），
整理得，3x²≤2，
解得x∈[-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
因此，x的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评本题主要考查了柯西不等式在求最值问题中的应用，体现了构造与整体的解题思想，属于中档题．